바꿔야 이기는 이유? 몬티홀(Monty Hall)문제로 보는 확률의 함정
몬티홀 문제란?
몬티홀 문제(Monty Hall Problem)는 미국의 오래된 TV 퀴즈쇼 “Let's Make a Deal”에서 유래한 확률 퍼즐이에요. 게임의 규칙은 다음과 같습니다.
- 3개의 문이 있고, 그중 1개의 문 뒤에는 자동차(상품)가, 나머지 2개의 문 뒤에는 염소(꽝)이 있습니다.
- 참가자가 먼저 문 하나를 골라요. (아직 열지 않음)
- 진행자(몬티 홀)는 염소가 있는 문 하나를 열어 보여줍니다. (자동차가 있는 문은 절대 열지 않음)
- 이제 참가자는 처음 선택한 문을 고수할지, 나머지 한 문으로 바꿀지 선택할 수 있습니다.
많은 사람이 직감적으로 “이미 한 번 골랐는데, 굳이 문을 바꿀 이유가 있을까?”라고 생각하는데요. 사실 바꾸는 게 훨씬 유리합니다! 어떻게 된 일인지, 천천히 알아봅시다.
직관적으로 보기: “처음 고른 문”이 맞을 확률은?
먼저 아주 간단히 생각해볼게요.
- 처음 선택한 문에 자동차가 들어 있을 확률: $$P(\text{자동차}) = \frac{1}{3}$$
- 처음 선택한 문에 자동차가 들어 있지 않을(즉, 염소가 들어 있을) 확률: $$P(\text{염소}) = \frac{2}{3}$$
여기까지는 누구나 동의할 거예요. 문이 3개고, 어느 문이든 골랐을 때 자동차가 들어있을 가능성은 1/3이니까요. 그렇다면 진행자 몬티 홀이 염소가 있는 문을 열어버리면, 남은 문 하나가 사실상 자동차가 있을 가능성 2/3를 그대로 가지게 된다는 것이 이 문제의 핵심이에요.
왜 바꾸면 확률이 2/3일까?
조금 더 풀이해보면:
- 처음에 자동차를 골랐다면(확률 1/3), 진행자는 염소가 있는 두 문 중 하나를 열어 보여줍니다.
- 이 경우 문을 바꾸면 염소를 얻게 되고, 바꾸지 않으면 자동차를 얻게 됩니다.
- 처음에 염소를 골랐다면(확률 2/3), 진행자는 염소가 있는 나머지 문 1개를 열어야 하므로(자동차가 있는 문을 함부로 열 수 없음), 결국 문을 바꾸면 자동차가 있는 문으로 갈 수밖에 없어요.
- 이 경우 문을 바꾸면 자동차를 얻게 되고, 바꾸지 않으면 염소를 얻게 됩니다.
즉, 처음에 틀렸을 때(2/3 확률) → 나중에 바꾸면 자동차 획득이고, 처음에 맞았을 때(1/3 확률) → 나중에 바꾸면 염소라는 구조죠. “틀렸을 때”가 훨씬 자주 일어나므로(2/3), 게임에서는 바꾸는 쪽이 유리해지는 것입니다.
사람들이 헷갈리는 이유
- 직관적 착각: “이미 한 번 골랐는데, 나머지 문은 2개 중 하나니까 둘 다 1/2 아냐?” → 사실 몬티 홀이 “어느 문을 열지”는 완전히 임의가 아니라, 항상 염소가 있는 문을 골라 열기 때문에 상황이 달라집니다.
- 결과만 보면 2개 중에 1개라 50:50 같아 보인다: 남은 문이 2개라도, 그 2문이 처음부터 같은 확률을 가진 건 아니에요. 문을 열어주는 행위로 인해 정보가 바뀝니다.
- 마음이 흔들리는 심리: 이미 선택한 문에 애착이 생겨서 바꾸는 게 손해 같다고 느낄 수 있죠. 그러나 냉정하게 확률로 계산해보면 “바꾸는 전략”이 맞힐 가능성이 2배입니다.
직접 시뮬레이션 해보기
다음과 같이 직접 실험해 볼 수 있습니다.
- 카드 3장에 각각 '자동차', '염소', '염소'를 적습니다.
- 친구에게 카드를 섞어 놓고, 카드 1장을 고릅니다.
- 친구는 내가 고르지 않은 카드 중 염소 카드를 공개합니다.
- 남은 카드와 처음 고른 카드 중 하나를 선택합니다.
- 이 과정을 여러 번 반복하면, 바꾸는 전략이 더 높은 확률로 자동차를 얻을 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
마무리: 지식보다 중요한 ‘직관 극복’
몬티홀 문제는 단순한 퀴즈에 그치지 않고, 우리에게 생각의 함정을 보여주는 대표적인 예시로 알려졌습니다.
- 상황을 표면적으로 보면 문 2개 중 하나라 1/2처럼 착각하기 쉽지만, 진행자의 선택(염소가 있는 문을 여는 과정) 덕분에 정보가 달라진다는 사실이 핵심이죠.
- 이 문제를 통해 알 수 있듯, 머리로는 알면서도 직관적으로 받아들이지 못하는 상황이 세상엔 정말 많습니다.
어떠신가요? 처음엔 “에이, 그게 왜 2/3나 돼?”라고 하다가도, 한 번 시뮬레이션해보면 정말 바꾸는 쪽이 더 높다는 걸 알게 됩니다. 몬티홀 문제를 통해 확률과 직관 사이의 간극을 경험해보세요!
더 읽어보기
- 위키백과: 몬티 홀 문제 (개념과 수학적 증명 포함)
- 시뮬레이션 코드 예시 (직접 프로그램으로 돌려볼 수 있음)
결론: 몬티홀 문제에서 문을 바꾸는 전략을 쓰면 2/3의 확률로 승리할 수 있습니다. 머리로 이해하는 것보다 직접 실험해보시면 훨씬 더 재밌게 깨달으실 수 있을 거예요!